幕上，倒计时正一秒一秒地归零。

空气中，只有数百台电脑主机散热风扇发出的、低沉的嗡鸣，以及键盘被以惊人速度敲击时，那密集如暴雨般的“哒哒”声。

来自全球各大赛区的140支顶尖队伍，每队三人，正围绕着唯一的一台电脑，进行着长达五个小时的、极限的脑力马拉松。

比赛，已进入最后一个小时。

现场巨大的电子积分榜，已经变成了灰色——封榜。

这是icpc最残酷也最刺激的规则，最后一小时，所有队伍的解题情况都不再对外公布，最终的胜负，将成为一个悬念，直到颁奖典礼才会被揭晓。

程明笃的队伍，在封榜前，与另外几支来自世界顶级名校的队伍，以9道题的成绩，暂时并列第一。

而此刻，所有人的目光，都聚焦在了题板上那道依旧是灰色的、代表着无人解出的“j题”上——那是一道极其复杂的计算几何题。

（解题过程可选择跳过，不影响情节。）

题目背景：在一个二维平面上，分布着n个互不重叠的、由简单多边形代表的“居住区”（n可以高达10万）。现在，某科技公司计划发射颗“通讯卫星”（也可以高达10万），每颗卫星的信号覆盖范围都是一个完美的圆形。

题目要求：给出所有“居住区”的顶点坐标和颗卫星的坐标及其信号半径。要求程序能够快速回答一个问题：对于每一颗卫星，它的信号完整覆盖了多少个“居住区”？

n和都高达10万。如果采用最笨的办法——对于每一颗卫星，都去遍历所有n个居住区，并进行一次复杂的“完整覆盖”判定，那么总计算量将是n（即10万10万=100亿次）。

竞赛计算机的单秒处理能力约1亿次，所以计算机处理时间是100秒，但是这时间远远超过了icpc题目通常给出的1-2秒的时间限制，而且这种解法没有技术含量，丢失了竞赛的意义。这个解法提交上去，得到的结果一定是“超时”（tiliitexceeded，简称tle），即解答失败。

这一道题的难点不在数学思想，而是如何在计算机的能力内在短时间内解决大规模数据，这只能从算法的角度去优化，在有限的计算机运算能力之下，高效完成任务。

程明笃的队友，现在都停下了手中的动作。

因为常规解法动辄需要上千代码量，这不是体力竞赛，必须要确定思路再行动才更加有效。

“首先不可能走时间复杂度这么高的方法，远远超时。”负责变成的队友神情有些焦灼，但是他们队伍呈现的状态还是较为稳定的。

程明笃作为队长，更是三人中最为平静的，他靠在椅背上，闭上了眼睛，手指在桌面上，无意识地、有节奏地轻轻敲击着。

那张清隽的脸上，没有丝毫的紧张，只有一种近乎冷酷的、绝对的专注。他仿佛已经抽离了这个嘈杂的赛场，进入了一个只有纯粹的算法世界。

突然，程明笃敲击的手指停住了。他睁开眼，那双总是深邃沉静的眼眸里，在那一瞬间，闪过了一道洞悉一切的、令人心悸的璀璨光芒。

他直接拿起白板笔，在旁边的小白板上，以一种快得惊人的速度，画出了一系列辅助线和几何模型，构建了一个所有人都没想到的、全新的坐标系。

“我们别再纠结‘面在不在圆里’，”他的笔尖在白板上飞舞，“问题的核心，是‘最远点’。我们要做一张‘查询地图’，把整个平面预先分割，而不是等查询来了再去计算。”

他首先运用“最远点voronoi图”的思想，为10万个“居住区”，各自生成了一张“谁离我最远”的答案地图。

他将这10万张地图叠加在一起，形成了一张包含了天文数字般信息的、极其复杂的“查询地图”。

运用“平面点定位算法”，为这张“查询地图”建立了一个查询引擎。

最后，当题目给出颗卫星的坐标时，他们要做的，只是把每一颗卫星的坐标，一个一个地输入事先建立的“查询地图”里。

系统会瞬间告诉他，对于这颗卫星，1号居住区最远点是a，2号是b，3号是c……他们只需进行简单的距离判断，就能得出最终答案。

程明笃在白板上，用短短几十秒，清晰地勾勒出了这个堪称天马行空的、宏伟的算法框架。

他那两位同样是顶尖天才的队友，在最初的震惊过后，立刻领会了这个思路的精妙之处。

但紧接着，那个负责编码的队友，立刻指出了这个计划中最致命的、也是最现实的难题。

“思路很巧妙，但这个实现难度太高了！”他的神情凝重起来，“光是构建voronoi图时，计算那些由垂直平分线构成的交点，就会涉及大量的浮点数运算。double的精度误差是会累积的。只要有一个交点因为精度问题偏离了哪怕只偏离107，整个数据结构的拓扑关系就全错了，后面的所有查询，都会是垃圾结果。这道题